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拿两个 5 毛硬币，一个不动，另一个贴着第一个转，总共转 1 周，问第二个硬币转了几圈？

这个问题看似很无聊，自己拿硬币试试就知道了（当然我没有一次成功的转满一周，每次都打滑╮(╯▽╰)╭）。实际上，我的第一反应是：肯定不是 1 圈，2 圈差不多，不过也太巧合了吧。然而，生活总是玩弄我们，这种巧合确实存在，事实上答案确实是两圈。然而，生活中的数学问题肯定是有依据的，我们试着从理论层面来分析这个问题。

一个圆绕着另一个圆旋转，这个问题有点复杂，我们不妨将问题化简一下：一个圆在一条线上运动，它运动的距离是多少？

答案很显然，就是圆心所走的距离！由此，我们容易知道，一个圆转动过程中，运动的路程等于圆心运动的路程。有趣的事情发生在一条折线上。

当圆运动到线段的尽头时，它会转向，而此时底部的点是静止不动的。至于怎么转向…… 我们知道，圆 O 与第一条线段相切，前进过程中圆始终保持这个状态，相当于以转折点为圆心、圆的半径为半径，做一条弧，运动到圆 O’时，圆 O’要与第二条线段相切。由此，我们易知：圆 O 在转折时，运动的距离就是弧 O’O 的长度（注意，此时圆下面那个点不动，只是 “重心转移”）。

说到这里，原来滚硬币的问题应该就很容易解决了。

我们推广到一般情况，两个圆，圆 A 和圆 B 半径分别是 r 和 R，两圆切与 C 点，圆 B 绕着圆 A 转一周。则圆 B 运动的路程就是以 A 为圆心、(r+R) 为半径的圆的周长，即 2π(r+R)。我们要计算圆 B 转的圈数，实际上就是除以圆 B 的周长。所以圆 B 转的圈数就是：2π(r+R)/2πR 即 (r+R)/R。对于两个 5 毛硬币，r=R，所以转的圈数就是 (1+1)/1=2 圈。

其实我们还可以有更多的玩法，比如说把这个圆放到一个三角形外面。

圆的半径为 r，三角形三边分别长 aπr，bπr，cπr，圆运动的路程就如图中虚线所示。我们可以把它拆成两部分，一部分是 (a+b+c)πr，另一部分就是三个弧部分。这三个弧又应该怎么算呢？

生活再次玩弄了我们，这三个弧的角度之和等于 360°！原因就是每个条弧所对的角都与三角形的一个角互补，于是乎三条弧度数之和就是 (180°-∠A)+(180°-∠B)+(180°-∠C)=180°×3-180°=360°！也就是一个圆，所以三条弧总长 2πr。所以圆转动的圈数就 =(a+b+c+2)πr/2πr=(a+b+c+2)/2。

当然，你还可以把这个圆扔到抛物线上等等……